Prove the following:$\frac{tanA}{1-cotA} +\frac{cotA}{1-tanA} =1+tanA+cotA$

Given: $\frac{tanA}{1-cotA} +\frac{cotA}{1-tanA} =1+tanA+cotA$

To do: To prove L.H.S.$=$R.H.S.

L.H.S.$=\frac{tanA}{1-cotA} +\frac{cotA}{1-tanA}$

$=\frac{tanA}{1-\frac{1}{tanA}} +\frac{cotA}{1-tanA}$                                                  $( As\ known\ cotA=\frac{1}{tanA})$

$=\frac{-tan^{2} A}{1-tanA} +\frac{cotA}{1-tanA}$

$=\frac{1}{1-tanA}\left( -tan^{2} A+\frac{1}{tanA}\right)$

$=\frac{1-tan^{3} A}{tanA( 1-tanA)}$

$=\frac{( 1-tanA)\left( 1+tan^{2} A+tanA\right)}{tanA( 1-tanA)}$

$=\frac{\left( 1+tan^{2} A+tanA\right)}{tanA}$

$=\frac{1}{tanA} +\frac{tan^{2} A}{tanA} +\frac{tanA}{tanA}$

$=cotA+tanA+1$                                                              $( \because cotA=\frac{1}{tanA} )$

$=$R.H.S.

Hence proved.